有限维向量空间（Finite Dimensional Vector Spaces）

线性组合

定义：

向量空间 $V$ 中的一组向量 $v_{1}, . . ., v_{m}$ 的线性组合是指形如 $a_{1} v_{1} + . . . + a_{m} v_{m}$ 的向量，其中 $a_{1}, . . ., a_{m} \in F$ 。

张成空间（span）

定义：

$V$ 中的一组向量 $v_{1}, . . ., v_{m}$ 的所有线性组合所构成的集合或向量空间称为 $v_{1}, . . ., v_{m}$ 的张成空间，记为 $span (v_{1}, . . ., v_{m})$ ；
此外空向量组 $()$ 的张成空间是空向量空间 ${0}$ ；

故而我们可以定义运算张成（spans）：

如果 $span (v_{1}, . . ., v_{m}) = V$ ，则称 $v_{1}, . . ., v_{m}$ 张成 $V$ ；

此外，张成空间还有一个性质：

一组向量的张成空间是包含这组向量的最小子空间；

有限维向量空间（finite-dimensional vector space）

定义：

如果一个向量空间可以由某个长度有限的向量组张成所得，则称这个向量空间是有限维的；

反之，如果一个向量空间不是有限维的，则称这个向量是无限维向量空间（infinite-dimensional vector space）。

此外，结合子空间的定义得到：

有限维向量空间的子空间也是有限维的；

线性无关（linearly independent）

定义：

如果当 $a_{1} v_{1} + . . . + a_{m} v_{m} = 0 : a_{1}, . . ., a_{m} \in F$ 只有在 $a_{1} = . . . = a_{m} = 0$ 时才成立，则称向量组 $v_{1}, . . ., v_{m}$ 是线性无关的；
此外，空向量组 $()$ 也是线性无关的；
反之，如果一组向量不是线性无关的，那则是线性相关的；

此外，可以引申出：

若 $v_{1}, . . ., v_{m}$ 是一个线性相关的向量组，则存在 $j \in {1, 2, . . ., m}$ 使得：
- $v_{j} \in span (v_{1}, . . ., v_{j - 1})$ ；
- 并且如果从向量组中去掉向量 $v_{j}$ 后所得到的向量组的张成空间仍然等于 $span (v_{1}, . . ., v_{m})$ ；

根据线性无关和张成的概念，我们还可以得到以下规律：

同一个向量空间下，任意线性无关向量组的的长度一定不超过张成该向量空间的向量组长度；

基（basis）

定义：

若一个线性无关的向量组张成向量空间 $V$ ，则成这个向量组为 $V$ 的基；

由此可以得到：

设向量空间 $V$ 和其基 $v_{1}, . . ., v_{n}$ ，对于任意向量 $v \in V$ ，都存在且唯一存在一组 $a_{1}, . . ., a_{n} \in F$ 使得 $a_{1} v_{1} + . . . + a_{n} v_{n} = v$ ；

结合之前的概念，可以引申出：

对于同一个向量空间，其任意一个线性相关关的张成组，都可以通过去掉其中的某些向量得到该向量空间的基；
对于每个有限维向量空间，其都有基；
任意一个线性无关的向量组，其都可以成为某个向量空间的基；

此外，结合子空间的直和概念，可以引申出：

对于任意有限维向量空间 $V$ 以及其子空间 $U$ ，必然存在另一个 $V$ 的子空间 $W$ 使得 $V = U \oplus W$ ;

对于某些有限维向量空间，是存在多个不同的基的（例如对于二维平面，只要是互不平行的向量都可以作为基），但是基的长度却是固定的，即：

对于同一个有限维向量空间，其任意两个基之间的长度都相同；

证明过程十分简单：

设有限维向量空间 $V$ 有两个基： $B_{1}, B_{2}$ ；
根据向量空间的基的定义， $span (B_{1}) = V 且 B_{2} = V$ ，即它们俩也同时都是 $V$ 的张成组；
根据基和张成组的关系，将 $B_{1}$ 看作基、 $B_{2}$ 看作张成组时， $B_{1}$ 的长度必然不超过 $B_{2}$ 的长度，反之也一样；
所以它们俩的长度互相都不能超过对方，那么它们俩的长度就必然相等了。

维数（dimension）

定义：

有限维向量空间的基的长度称之为该向量空间的维数；
对于有限维向量空间 $V$ ，其维数记为： $dim V$ ；

对于子空间，可以得到：

对于有限维向量空间 $V$ 及其子空间 $U$ ， $dim V \leq dim U$ ；

因为基同时也是向量空间的张成组，故而可以得到：

对于有限维向量空间 $V$ ，其如果过有一个张成组的长度等于 $dim V$ ，那么该张成组便是 $V$ 的基；

而对于两个子空间的和：

设 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 是某个有限维向量空间的子空间，那么根据它们倆的和所得到的向量空间的维数 $dim (U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} - dim (U_{1} \cap U_{2})$

有限维向量空间（Finite Dimensional Vector Spaces） ​

线性组合 ​

张成空间（span） ​

有限维向量空间（finite-dimensional vector space） ​

线性无关（linearly independent） ​

基（basis） ​

维数（dimension） ​