向量空间（Vector Speces）

向量空间和群论密切相关，但此时的我知识储备不足，无法详细描述其中的观念，待以后补充。

加法和标量乘法运算

在定义向量空间之前，需要先明确其加法和乘法：

从这里可以看出，向量空间其实是一个主要关心向量之间的叠加运算的域概念，因为它并不定义向量之间的乘法运算。

向量空间的定义如下：

交换性（commutativity）：对于所有的 $u, v \in V$ 都有 $u + v = v + u$ ；
结合性（associativity）：对于所有的 $u, v, w \in V$ 和 $a, b \in F$ ，都有 $(u + v) + w = u + (v + w)$ 和 $(a b) v = a (b v)$ ；
加法单位元（additive identity）：存在元素 $0 \in V$ 使得对所有 $v \in V$ 都有 $v + 0 = v$ ；
加法逆元（additive inverse）：对每个 $v \in V$ 都存在 $w \in V$ 使得 $v + w = 0$ ；
标量乘法单位元（scalar multiplicative identity）：对于所有 $v \in V$ 都有 $1 v = v$ ，这里的 $1 \in F$ ；(教科书中只是简单称之为“乘法单位元（multiplicative identity）”，容易引起歧义，这里我使用更准确的描述)
分配律（distributive properties）：对于所有 $a, b \in F$ 和 $u, v \in V$ 都有 $a (u + v) = a u + a v$ 和 $(a + b) v = a v + b v$ ；

这里延伸出来几个向量空间的性质：

定义：

设集合 $V$ 为一个向量空间，如果存在另一个集合 $U \subseteq V$ ，且 $U$ 也是一个向量空间，则称 $U$ 是 $V$ 的子空间。

$V$ 的子集 $U$ 是 $V$ 的子空间当且仅当 $U$ 满足以下三个条件：

其必须包含加法单位元（additive identity）： $0 \in U$ （此处的0实际上也同时是 $V$ 中的加法单位元）；
满足加法封闭性（closed under addition）: 对于所有的 $u, w \in U$ ，其结果 $u + w \in U$ ；
满足标量乘法封闭性（closed under scalar multiplication）：对于任意 $a \in F$ 和任意 $u \in U$ ，其相乘结果都满足 $a u \in U$ ；

先定义任意集合V中子集的和：

设集合 $U_{1}, . . ., U_{m} \in V$ ，则 $U_{1}, . . ., U_{m}$ 的和 $U_{1} + . . . + U_{m} = {u_{1} + . . . + u_{m} : u_{1} \in, . . ., u_{m} \in U_{m}}$ ；

子空间的和便是满足子空间定义的子集的和，且子空间的和也是子空间。

并且子空间有一条重要性质：

子空间的和是包含这些子空间的最小子空间。即：对于任意满足向量空间的集合 $V$ ，其某些子空间之和 $U_{1} + . . . + U_{m} : U_{1}, . . ., U_{m} \in V$ ，不存在向量 $u \in U_{1} + . . . + U_{m}$ 且 $u \notin U_{1} \lor . . . u \notin U_{m}$ ；

定义：

设集合 $U_{1}, . . ., U_{m}$ 都是向量空间 $V$ 的子空间，对于任意向量 $u \in U_{1} + . . . + U_{m}$ ，存在且唯一存在 $u_{1} + . . . + u_{m} = u : u_{1} \in U_{1}, . . ., u_{m} \in U_{m}$ ，那么 $U_{1} + . . . + U_{m}$ 则称为直和，记作 $U_{1} \oplus . . . \oplus U_{m}$ ；

直和本质上是指对于某个子空间之和，对于它们各自的子空间，除了 ${0}$ 之外，没有任何子空间上的重合，也可以理解为没有任意非0维度上的重合，它们在向量空间中是完美弥补的。

因此也可以引申出以下两点：