复数

定义

• 一个复数（complex number）是一个有序对 $(a,b)$ ，其中 $a,b\in \mathbf{R}$ （即都是实数），对于某个复数 $z\in \mathbf{C}$ 通常会写成 $a+b\text{i}$ 的形式。

  • 其中 $a$ 称为实部（real part），一般记作 $\text{Re}z=a$ ；
  • 其中 $b$ 称为虚=部（imaginary part），一般记作 $\text{Im}z=b$ ；
  • 所以 $z$ 可以写成 $z=\text{Re}z+(\text{Im}z)\text{i}$ ；
  • 虚部后的 $\text{i}$ 称为虚数单位（imaginary unit），它的定义非常简单： ${\text{i}}^2=-1$ ，复数的概念就是围绕这个十分特殊的性质建立的。
  • 当一个复数虚部为 $0$ 时，实际上它等同于实部，变成了一个实数，所以可以说 $\mathbf{R}\subset \mathbf{C}$ 。

• 由所有复数构成的集合一般记为 $\mathbf{C}$ ：

$$\mathbf{C}=\{a+b\text{i}:a,b\in \mathbf{R}\}$$

• $\mathbf{C}$ 上的加法和乘法运算定义为：

$$\begin{array}{rl}(a+b\text{i})+(c+d\text{i})& =(a+c)+(b+c)\text{i}\\ (a+b\text{i})(c+d\text{i})& =(ac-bd)+(ad+bc)\text{i}\end{array}$$

实际上复数乘法不必定义，只要围绕性质 ${\text{i}}^2=-1$ 就可以推导出来：

$$\begin{array}{rl}(a+b\text{i})(c+d\text{i})& =a\cdot c+c\cdot b\text{i}+a\cdot d\text{i}+b\text{i}\cdot d\text{i}\\ & =a\cdot c+c\cdot b\text{i}+a\cdot d\text{i}+b\cdot d\cdot (\text{i}\cdot \text{i})\\ & =a\cdot c+c\cdot b\text{i}+a\cdot d\text{i}+b\cdot d\cdot (-1)\\ & =a\cdot c-b\cdot d+(c\cdot b+a\cdot d)\text{i}\\ & =(ac-bd)+(ad+bc)\text{i}\end{array}$$

算数性质

• 交换性（commutativity）：

对所有 $\alpha ,\beta \in \mathbf{C}$ 都有 $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ ， $\alpha \beta =\beta \alpha$ ；

• 结合性（associativity）：

对所有 $\alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbf{C}$ 都有 $(\alpha +\beta )+\lambda =\alpha +(\beta +\lambda )$ ， $(\alpha \beta )\lambda =\alpha (\beta \lambda )$ ；

• 单位元（identities）:

对所有 $\lambda \in \mathbf{C}$ 都有 $\lambda +0=\lambda$ ，$\lambda 1=\lambda$ ；

• 加法逆元（additive inverse）：

对任意 $\alpha \in \mathbf{C}$ 都存在唯一的 $\beta \in \mathbf{C}$ 使得 $\alpha +\beta =0$ ；

• 乘法逆元（mutiplicative）:

对任意 $\alpha \in \mathbf{C},\alpha \ne 0$ 都存在唯一 $\beta \in \mathbf{C}$ 使得 $\alpha \beta =1$ ；

• 分配律（distributive property）：

对任意 $\lambda \alpha \beta \in \mathbf{C}$ 都有 $\lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta$ ；

减法与除法运算

有了加法逆元和乘法逆元的概念后，就可以明确定义复数集上的减法和除法了。

设 $\alpha ,\beta \in \mathbf{C}$ ：

• $\mathbf{C}$ 上的减法定义为与减数的加法逆元相加，即：

$$\alpha -\beta =\alpha +(-\beta )$$

这里的 $-\beta$ 指的是 $\beta$ 的加法逆元。

• $\mathbf{C}$ 上的除法定义为与除数的乘法逆元相乘，即：

$$\alpha /\beta =\alpha \cdot (1/\beta )$$

这里的 $1/\beta$ 指的是 $\beta$ 的乘法逆元。

复共轭与绝对值

定义

对于任意 $z\in \mathbf{C}$ ：

• $z$ 的复共轭（complex conjugate） 记作 $\bar{z}$ ，其定义为：

$$\bar{z}=\text{Re}z-(\text{Im}z)\text{i}$$

• $z$ 的绝对值（absolute value）记作 $|z|$ ，定义为：

$$|z|=\sqrt{(\text{Re}z{)}^2+(\text{Im}z{)}^2}$$

故而对于任意 $z\in \mathbf{C}$ 都有：

$$|z|\in \mathbf{R}\wedge |z|\ge 0$$

相关性质

设 $w,z\in \mathbf{C}$ ：

• $z+\bar{z}=2\text{Re}z$ ；
• $z-\bar{z}=2(\text{Im}z)\text{i}$ ；
• $z\bar{z}=|z{|}^2$ ；
• $\overline{w+z}=\bar{w}+\bar{z}$ ；
• $\overline{wz}=\bar{w}\bar{z}$ ；
• $\overline{\stackrel{―}{z}}=z$ ；
• $|\text{Re}z|\le |z|$ ；
• $|\text{Im}z|\le |z|$ ；
• $|\bar{z}|=|z|$ ；
• $|wz|=|w||z|$ ；
• $|w+z|\le |w|+|z|$ ；

标量集 $\mathbf{F}$

通常我们会用记号 $\mathbf{F}$ 表示 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ ，而称其中的元素为标量（scalar），它在数学领域中用来强调某个对象是一个“数”而不是向量（例如，一个复数有实部和虚部，是可以作为二维向量来看待的，但在有些上下文中，它只能是一个数，没有维数）。