组

定义

一个长度为 $n$ （必须是非负整数）的组（list）是由 $n$ 个元素按顺序构成的序列。其往往有如下形式：

$$(x_1,\dots x_n)$$

组中的元素，可以是任意对象，如：实数、复数、向量等，甚至组也可以作为另一个组的元素。在定义组时会先定义组元素来自于哪个集合，然后定义长度，一般会将组的长度作为上标写在集合上作为组的集合，例如对于任意非负整数 $n$：

• ${\mathbf{R}}^n$ 表示所有长度为 $n$ 、元素为任意实数的组所构成的集合；
• ${\mathbf{C}}^n$ 表示所有长度为 $n$ 、元素为任意复数的组所构成的集合；
• ${\mathbf{F}}^n$ 表示所有长度为 $n$ 、元素为任意标量的组所构成的集合；
• $({\mathbf{F}}^n{)}^m$ 表示长度为 $m$ 的组构成的集合，其中组的元素是任意长度为 $n$ 、元素为任意标量的组；

标量集上的组

接下来用标量组 ${\mathbf{F}}^n$ 为例，讨论其相关性质。

定义 $0$

${\mathbf{F}}^n$ 中的 $0$ 是长度为 $n$ 且所有元素都是标量 $0$ 的组：

$$0=(0,\dots ,0)$$

上边等式中，左边的 0 是定义在 ${\mathbf{F}}^n$ 中的组，等式右边的 $0$ 是定义在 $\mathbf{F}$ 中的标量。

加法

${\mathbf{F}}^n$ 中两个组相加，所得到的是两者对应元素相加后所构成的新组：

$$(a_1,\dots ,a_n)+(b_1,\dots ,b_n)=（a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n）$$

结合之前对于 $0$ 组的定义，对于任意非 $0$ 组，都唯一存在其加法逆元，使得其与加法逆元相加为 $0$ 组。

标量乘法

对于任意 $\lambda \in \mathbf{F}$ ，其与 ${\mathbf{F}}^n$ 中任意组相乘得到一个各对应元素与 $\lambda$ 乘积所构成的新组：

$$\lambda (a_1,\dots ,a_n)=(\lambda a_1,\dots ,\lambda a_n)$$