对偶

线性泛函

线性泛函（linear functional）实际上是特指从某个向量空间 $V$ 到标量空间的线性映射，即 $L (V, F)$ 中的元素。

对偶空间

对偶空间（dual space）就是某个向量空间 $V$ 上所有的线性泛函所构成的向量空间，记作 $V^{'}$ ，根据定义：

V^{'} = L (V, F)

有限维的情况下，对偶空间的维数实际上就等于向量空间的维数，即：

dim V^{'} = dim V

对偶基

设 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 都是向量空间 $V^{'}$ 的基，则 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 的对偶基（dual basis）便是 $V^{'}$ 中对应数量的元素 $φ_{1}, \dots, φ_{n}$ ，其中第 $j$ 个线性泛函 $φ_{j}$ 对于 $V$ 的任意基 $v_{k}$ 的映射关系为：

φ_{j} (v_{k}) = {\begin{cases} 1, 若 k = j, \\ 0, 若 k \neq j . \end{cases}

虽然对偶基本的定义是从原向量空间的基出发的，但对偶基实际上也是对偶空间的基。

对偶映射

若对于向量空间 $V, M$ 有线性映射 $T \in L (V, W)$ ，则 $T$ 的对偶映射（dual map）是一个线性映射 $T^{'} = L (W^{'}, V^{'})$ ，且该映射对于任意 $φ \in W^{'}$ 的映射关系为：

T^{'} (φ) = φ \circ T

此外，对偶映射的相关代数性质如下：

若 $S, T \in L (V, W)$ ，则 $(S + T)^{'} = S^{'} + T^{'}$ ；
若 $λ \in F$ , $T \in L (V, W)$ ，则 $(λ T)^{'} = λ T^{'}$ ；
若 $T \in L (U, V)$ , $S \in L (V, W)$ ，则 $(S T)^{'} = T^{'} S^{'}$ ；

零化子

若有向量空间 $V$ ，且有 $U \subset V$ , 那么 $U$ 的零化子（annihilator） $U^{0}$ 为符合以下定义的一个集合：

U^{0} = {φ \in V^{'} : \forall u \in U, φ (u) = 0}

虽然定义中用集合表示，但零化子 $U^{0}$ 是对偶空间 $V^{'}$ 的子空间。并且在维数上，其 $V$ 的子空间 $U$ 的维数关系为：

dim U + dim U^{0} = dim V

$T^{'}$ 的零空间

设有限维向量空间 $V$ 和 $M$ ，以及线性映射 $T \in L (V, W)$ ，那么：

(a) $null T^{'} = (range T)^{0}$ ；
(b) $dim null T^{'} = dim null T + dim W - dim V$

证明：

(a) 对于任意 $φ \in null T^{'}$ 以及 $v \in V$ ，有：

\begin{aligned} 0 & = (φ \circ T) (v) \\ = φ (T v) \\ ⇓ \\ φ & \in (range T)^{0} \\ ⇓ \\ null T^{'} & \subset (range T)^{0} \end{aligned}

反过来，对于任意 $φ \in (range T)^{0}$ 以及 $v \in V$ 则有：

\begin{aligned} 0 & = φ (T v) \\ ⇓ \\ 0 & = φ \circ T \\ = T^{'} (φ) \\ ⇓ \\ (range T)^{0} & \subset null T^{'} \end{aligned}

至此可知 $null T^{'}$ 与 $(range T)^{0}$ 相互包含，那么自然 $null T^{'} = (range T)^{0}$ 。

(b) 由性质 (a) 可得：

\begin{aligned} dim null T^{'} & = dim (range T)^{0} \\ = dim W - dim range T \\ = dim W - (dim V - dim null T) \\ = dim null T + dim W - dim V \end{aligned}

$T^{'}$ 的值域

设有限维向量空间 $V$ 和 $W$ ，以及线性映射 $T \in (V, W)$ ，那么：

(a) $dim range T^{'} = dim range T$ ；
(b) $range T^{'} = (null T)^{0}$ ；

证明：

(a)

\begin{aligned} dim r a n g e T^{'} & = dim W^{'} - dim null T^{'} \\ = dim W - dim (range T)^{0} \\ = dim range T \end{aligned}

(b) 首先对于任意 $φ \in range T^{'}$ ，那么则有 $ψ \in W^{'}$ 使得 $T^{'} (ψ) = φ$ ，那么对于任意 $v \in null T$ ：

\begin{aligned} φ (v) & = (T^{'} (ψ)) v \\ = (ϕ \circ T) v \\ = ψ (T v) \\ = ψ (0) \\ = 0 \\ ⇓ \\ φ & \in (null T)^{0} \\ ⇓ \\ range T^{'} & \subset (null T)^{0} \end{aligned}

此外，由已证的 (a) 可知：

\begin{aligned} dim range T^{'} & = dim range T \\ = dim V - dim null T \\ = dim (null T)^{0} \end{aligned}

故而可得 $range T^{'} = (null T)^{0}$ 。

线性映射与对偶映射、单射与满射

线性映射的满射性等价于其对偶映射的单射性

设有限维向量空间 $V$ 和 $W$ ，若线性映射 $T \in (V, W)$ 是满射的，那么：

\begin{aligned} range T & = W \\ ⇓ \\ (range T)^{0} & = {0} \\ ⇓ \\ null T^{'} & = {0} \end{aligned}

故而 $T^{'}$ 是单射的。

线性映射的单射性等价于其对偶映射的满射性

设有限维向量空间 $V$ 和 $W$ ，若线性映射 $T \in (V, W)$ 是单射的，那么：

\begin{aligned} null T & = {0} \\ ⇓ \\ (null T)^{0} & = V^{'} \\ ⇓ \\ range T^{'} & = V^{'} \end{aligned}

故而 $T^{'}$ 是满射的。

可以从更容易理解的角度去看以上这两个性质：
满射性往往是从高维空间映射向低维空间，而根据定义，对偶映射的映射方向与线性映射相反，此时等同于从低维空间映射向高维空间（因为对偶空间与原向量空间同维），自然就只能单射了。
反之，就能解读线性映射的单射性与对偶映射的满射性关系。

转置矩阵

定义

对于一个矩阵 $A$ ，其转置（transpose）矩阵 $A^{t}$ 实际上就是讲 $A$ 的行与列互换而来的矩阵，即：

(A^{t})_{j, k} = A_{k, j}

矩阵乘积的转置

若 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵， $C$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，那么：

(A C)^{t} = C^{t} \times A^{t}

对偶映射的矩阵

性质：对偶映射的矩阵是其线性映射的转置。

即：设 $T \in L (V, W)$ ，则 $M (T^{'}) = (M (T))^{t}$ 。

原因很简单，根据对偶映射的定义，任意 $φ \in W^{'}$ ，都有 $T^{'} (φ) = φ \circ T$ ，以 $V \in R^{2}$ 和 $W \in R^{3}$ 为例，线性泛函 $φ$ 可以看作一个3维向量，此时 $T$ 要和 $φ$ 做内积，最终得到一个2维向量，对应某个在 $V$ 上的线性泛函，此时表示 $T$ 的矩阵自然需要转置。

对偶 ​

线性泛函 ​

对偶空间 ​

对偶基 ​

对偶映射 ​

零化子 ​

T′ 的零空间 ​

T′ 的值域 ​

线性映射与对偶映射、单射与满射 ​

线性映射的满射性等价于其对偶映射的单射性 ​

线性映射的单射性等价于其对偶映射的满射性 ​

转置矩阵 ​

定义 ​

矩阵乘积的转置 ​

对偶映射的矩阵 ​

对偶