线性映射基本定理

定理：

若向量空间 $V$ 是有限维的，且有 $T \in L (V, W)$ ，则 $range T$ 也是有限维的，并且：

dim V = dim null T + dim range T

该定理揭示了线性映射的定义域与值域维数的数量关系。

证明过程如下：

设 $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}$ 为 $null T$ 的基，即 $dim null T = m$ ；

因为 $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}$ 作为基必然是个线性无关组，那么它就可以用 $V$ 中的一组向量扩充为 $V$ 的基 ${u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}, v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}}$ ，即设 $dim V = m + n$ ；

所以我们需要证明 $dim range T = n$ ，即只要证明 ${T v_{1}, T v_{2}, . . ., T v_{n}}$ 是 $range T$ 的基。

(1) 先证明 $span (T v_{1}, T v_{2}, . . ., T v_{n}) = range T$ ：

设 $v \in V$ ， $a_{1}, a_{2}, . . . a_{m}, b_{1}, b_{2}, . . . b_{n} \in F$ ，因为 ${u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}, v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}}$ 是 $V$ 的基，所以：

v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + . . . + a_{m} u_{m} + b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + . . . + b_{n} v_{n}

那么：

\begin{aligned} T v & = T (a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + . . . + a_{m} u_{m} + b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + . . . + b_{n} v_{n}) \\ = T (a_{1} u_{1}) + T (a_{2} u_{2}) + . . . + T (a_{m} u_{m}) + T (b_{1} v_{1}) + T (b_{2} v_{2}) + . . . + T (b_{n} v_{n}) \\ = a_{1} T u_{1} + a_{2} T u_{2} + . . . + a_{m} T u_{m} + b_{1} T v_{1} + b_{2} T v_{2} + . . . + b_{n} T v_{n} \end{aligned}

又因为 $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}$ 是 $null T$ 的基，所以 $T u_{1} = T u_{2} = . . . = T u_{m} = 0$ ，则：

T v = b_{1} T v_{1} + b_{2} T v_{2} + . . . + b_{n} T v_{n}

\Rightarrow span (T v_{1}, T v_{2}, . . ., T v_{n}) = range T

(2) 接下来要证明 $T v_{1}, T v_{2}, . . ., T v_{n}$ 线性无关：

设 $c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n} \in F$ ，并且：

c_{1} T v_{1} + c_{2} T v_{2} + . . . + c_{3} T v_{n} = 0

因为线性映射的性质，那么：

T (c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + . . . + c_{3} v_{n}) = 0

所以：

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + . . . + c_{3} v_{n} \in null T

设 $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{m} \in F$ ，由于 $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}$ 必然张成 $null T$ ，所以：

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + . . . + c_{3} v_{n} = d_{1} u_{1} + d_{2} u_{2} + . . . + d_{3} u_{m}

又因为 ${u_{1}, u_{2}, . . ., u_{m}, v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}}$ 是 $V$ 的基，它们必然线性无关，所以它们只能等于0，并且 $c_{1} = c_{2} = . . . = c_{n} = 0$ , 所以 $T v_{1}, T v_{2}, . . ., T v_{n}$ 是线性无关的。

${T v_{1}, T v_{2}, . . ., T v_{n}}$ 张成 $range T$ ，又是个线性无关组，所以它就是 $range T$ 的基。故而 $dim range T = n$ 。

有了线性映射基本定理，我们就能够引申出以下两条性质。

定义域维数大于值域维数的线性映射不是单射的

证明设 $T \in L (V, W)$ ，则：

\begin{aligned} dim null T & = dim V - dim range T \\ \geq dim V - dim W \\ > 0 \end{aligned}

所以 $null T$ 必然包括非零向量，而其中的向量都会被映射为0，因此 $T$ 不会是单射的。

定义域维数小于值域维数的线性映射不会是满射的

证明设 $T \in L (V, W)$ ，则：

\begin{aligned} dim range T & = dim V - dim null T \\ \leq dim V \\ < dim W \end{aligned}

这表示 $range T \neq W$ , 因此 $T$ 不会是满射的。

在方程组上的应用性质

对于方程组，假如设其变量为 $n$ 个，方程数量为 $m$ 个，那么可以看作是 $F^{n} \to F^{m}$ 的线性映射，命名为 $T$ 。结合以上的两条性质，那么我们就可以得到以下结论：

对于齐次线性方程组，当变量多于方程数量时，齐次线性方程组必然有解。

这种情况下，问题可以转换成 $null T$ 是否等于 ${0}$ ，当变量多于方程数量可以看作此时 $n > m$ ，即定义域维数大于值域维数，所以 $dim null T > 0 \Rightarrow null T \neq {0}$ 。

对于非齐次线性方程组，当变量多于方程数量时，必然有一组常数项使得方程无解。

这种情况下，问题可以转换成 $T$ 是否为满射，当变量少于方程数量可以看作此时 $n < m$ ，即定义域维数小于值域维数。

线性映射基本定理 ​

定义域维数大于值域维数的线性映射不是单射的 ​

定义域维数小于值域维数的线性映射不会是满射的 ​

在方程组上的应用性质 ​

线性映射基本定理

定义域维数大于值域维数的线性映射不是单射的

定义域维数小于值域维数的线性映射不会是满射的

在方程组上的应用性质