不变子空间

定义

设 $T \in L (V)$ ， $U$ 是 $V$ 的一个子空间，并对任意 $u \in U$ 都有 $T u \in U$ ，则称 $U$ 是 $T$ 下的不变子空间（invariant subspace）。

以下是一些不变子空间的示例：

设 $T \in L (V)$ , 那么零空间 ${0}$ 、 $V$ 、 $null T$ 、 $range T$ 都是 $T$ 下的不变子空间。
设 $T \in L (P (R))$ 定义为 $T (p) = p^{'}$ ，则 $P_{4} (R)$ 是 $T$ 下的不变子空间。

本征值与本征向量

定义

本征值和本征向量的概念离不开一个场景——一维不变子空间。

设 $v \in V$ 且 $v \neq 0$ ，并设 $U$ 为 $v$ 的标量倍向量构成的集合，即 $v$ 的张成空间：

U = {λ v : λ \in F} = span (v)

于是我们得到了 $V$ 的一维子空间 $U$ ，若是 $U$ 在某个算子 $T \in L (V)$ 下不变，那么此时 $U$ 就是一个不变子空间。这里的 $λ$ 和 $v$ 分别称之为本征值和本征向量。

下面给出完整定义：

设 $T \in L (V)$ 、 $λ \in F$ ，若存在非零向量 $v \in V$ 使得 $T v = λ v$ ，则称 $λ$ 为 $T$ 的本征值（eigenvalue）。
设 $T \in L (V)$ 、 $v \in V \land v \neq 0$ ，若存在 $λ \in F$ 使得 $T v = λ v$ ，则称 $v$ 为 $T$ 的相应于 $λ$ 的本征向量（eigenvector）。

本征值存在的等价条件

设 $V$ 是有限维的、 $T \in L (V)$ 、 $λ \in F$ ，那么以下情况等价成立：

(a) $λ$ 是 $T$ 的本征值；
(b) $T - λ I$ 不是单射的；
(c) $T - λ I$ 不是满射的；
(d) $T - λ I$ 不可逆；

证明：因为算子的单射性、满射性、可逆性等价成立，故而情况 (b)、(c)、(d) 等价成立。若情况 (a) 成立，则 $T v = λ v$ ，可得 $T v - λ v = 0$ ，那么本征向量 $v$ 便属于 $T - λ I$ 的零空间，故而情况 (a) 和 (b) 也等价成立。

不同本征值的本征向量线性无关

若 $T \in L (V)$ ，设 $λ_{1}, \dots λ_{m}$ 都是 $T$ 互不相同的本征值，那么这些本征值对应的本征向量 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 线性无关。

证明：

设 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 线性相关，且设 $k$ 是使得下式成立的最小下标：

v_{k} \in span (v_{1}, \dots, v_{k - 1})

于是有 $a_{1}, \dots, a_{k - 1} \in F$ 使得：

v_{k} = a_{1} v_{1}, \dots, a_{k - 1} v_{k - 1}

由本征值和本征向量的定义可得：

\begin{aligned} T (v_{k}) & = λ_{k} v_{k} \\ ⇓ \\ T (a_{1} v_{1}, \dots, a_{k - 1} v_{k - 1}) & = a_{1} T (v_{1}), \dots, a_{k - 1} T (v_{k - 1}) \\ = a_{1} λ_{1} v_{1}, \dots, a_{k - 1} λ_{k - 1} v_{k - 1} \\ ⇓ \\ λ_{k} v_{k} & = a_{1} λ_{1} v_{1}, \dots, a_{k - 1} λ_{k - 1} v_{k - 1} \end{aligned}

将第一个等式乘以 $λ_{k}$ 后再与第二个等式相减可得：

0 = a_{1} (λ_{k} - λ_{1}) v_{1}, \dots, a_{k - 1} (λ_{k} - λ_{k - 1}) v_{k - 1}

因为每个 $λ$ 不相等，且 $v_{1}, \dots, v_{k - 1}$ 又是非零向量，所以只能是 $a_{1}, \dots, a_{k - 1}$ 全为零，但如果反代回第一个等式，会使得 $v_{k} = 0$ ，此时会与本征向量的定义相悖，故而 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 线性相关的假设不成立。

本征值的个数

由不同本征值对应的本征向量线性无关的结论易得结论：

设 $V$ 是有限维向量空间，那么 $V$ 上的每个算子最多有 $dim V$ 个不同的本征值。

限制算子和商算子

设 $T \in L (V)$ , 且 $U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下的不变子空间。

限制算子（restriction operator） $T ∣_{U} \in L (U)$ 的定义为：

T ∣_{U} (u) = T u

此处 $u \in U$ 。

商算子（quotien operator） $T / U \in L (V / U)$ 的定义为：

(T / U) (v + U) = T v + U

此处 $v \in V$ 。

算子代入多项式

算子的幂

设 $T \in L (V)$ ，且 $m$ 是正整数，那么：

定义 $T^{m}$ 为 $m$ 个 $T$ 相乘的结果，即 $T^{m} = \underset{m 个}{\underset{⏟}{T \dots T}}$ ;
定义 $T^{0}$ 为 $V$ 上的恒等算子 $I$ ；
若 $T$ 可逆，则定义 $T^{- m}$ 为其逆的 $m$ 次幂，即 $T^{- m} = (T^{- 1})^{m}$ ；

多项式算子

设 $T \in L (V)$ ， $p \in P (F)$ ，对任意 $z \in F$ 都有 $p (z) = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots + a_{m} z^{m}$ ，则 $p (T)$ 是定义为 $p (T) = a_{0} I + a_{1} T + a_{2} T^{2} + \dots + a_{m} T^{m}$ 的算子。

此外，还有两个关于多项式乘积算子的性质，设 $p, q \in P (F)$ ，对于任意算子 $T \in L (V)$ 都有：

$(p q) (T) = p (T) q (T)$ ；
$p (T) q (T) = q (T) p (T)$ ；

证明：

首先我们证明第一条性质，设对于任意 $z \in F$ 有 $p (z) = \sum_{j = 0}^{m} a_{j} z^{j}$ ， $q (z) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} z^{k}$ ，那么：

(p q) (z) = \sum_{j = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_{j} b_{k} z^{j + k}

那么扩展代入到算子中，则：

\begin{aligned} (p q) (T) & = \sum_{j = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_{j} b_{k} T^{j + k} \\ = (\sum_{j = 0}^{m} a_{j} T^{j}) (\sum_{k = 0}^{n} b_{k} T^{k}) \\ = p (T) q (T) \end{aligned}

故而第一条性质成立。

根据第一条性质，我们可以直接推算出第二条性质：

p (T) q (T) = (p q) (T) = (q p) (T) = q (T) p (T)

本征值的存在性

定理：任意有限维非零复向量空间上的所有算子都有其对应的本征值。

证明：设 $dim V = n$ 且 $n > 0$ ，取一个非零向量 $v \in V$ ，因为有限维向量空间不同的本征值数量不超过维数，那么长度为 $n + 1$ 的向量组 $v, T v, T^{2} v, \dots, T^{n} v$ 必然是线性相关的，于是必然有 $n + 1$ 个不全为 $0$ 的实数组使得：

0 = a_{0} v + a_{1} T v + \dots + a_{n} T^{n} v

结合代数学基本定理，上式可以分解成多个一次因式乘积的形式：

\begin{aligned} 0 & = a_{0} v + a_{1} T v + \dots + a_{n} T^{n} v \\ = (a_{0} + a_{1} T + \dots + a_{n} T^{n}) v \\ = c (T - λ_{1} I) \dots (T - λ_{m} I) v \end{aligned}

此处 $c, λ_{1}, \dots, λ_{m} \in C$ 。

上式说明，必然有一项 $(T - λ I) v$ 等于 $0$ ，设该等式成立的 $λ$ 的下标是 $k$ ，那么：

\begin{aligned} (T - λ_{k} I) & v = 0 \\ ⇓ \\ T v - λ_{k} I & v = 0 \\ ⇓ \\ T v & = λ_{k} I v \\ ⇓ \\ T v & = λ_{k} v \end{aligned}

即 $T$ 必然存在本征值。

不变子空间 ​

定义 ​

本征值与本征向量 ​

定义 ​

本征值存在的等价条件 ​

不同本征值的本征向量线性无关 ​

本征值的个数 ​

限制算子和商算子 ​

算子代入多项式 ​

算子的幂 ​

多项式算子 ​

本征值的存在性 ​