向量空间的积和商

积空间

定义

设 $V_1,\dots ,V_m$ 均为 $\mathbf{F}$ 上的向量空间：

• 那么积 $V_1\times \cdots \times V_m$ 定义为：

$$V_1\times \cdots \times V_m=\{(v_1,\dots ,v_m):v_1\in V_1,\dots ,v_m\in V_m\}$$

• 向量空间的积仍然是一个向量空间，一般称之为积空间，故其加法和标量乘法仍然符合一般向量空间的规律：

$$\begin{array}{rl}(u_1,\dots ,u_m)+(v_1,\dots ,v_m)& =(u_1+v_1,\dots ,u_m+v_m)\\ \lambda (v_1,\dots ,v_m)& =(\lambda v_1,\dots ,\lambda v_m)\end{array}$$

向量空间积的维数等于各向量空间维数之和：

设 $V_1,\dots ,V_m$ 均为有限维向量空间，那么：

$$\text{dim}(V_1\times \cdots \times V_m)=\text{dim}{V}_1+\dots \text{dim}{V}_m$$

积与直和

设 $U_1,...,U_m$ 皆为向量空间 $V$ 的子空间，且有线性映射： $\mathrm{\Gamma }:U_1\times \cdots \times U_m\to U_1+\dots U_m$ , $\mathrm{\Gamma }$ 若是单射的，那么 $U_1+\cdots +U_m$ 必然是直和，反之亦然。(因为单射则表明 $\text{null}\mathrm{\Gamma }=0$ ，且等式左边的 $0$ 由每个自子空间中的零向量之和组成，这同时也表明 $U_1+\cdots +U_m$ 是直和)

根据以上推论，就可以得出直和与维数的关系：任意向量空间的子空间之和若是直和，那么子空间的维数之和等于该向量空间维数，反之亦然。

证明：

设有限维向量空间 $V$ ，且 $U_1,\dots ,U_m$ 均为V的子空间，且有线性映射： $\mathrm{\Gamma }:U_1\times \cdots \times U_m\to U_1+\dots U_m$，那么 $U_1+\dots U_m$ 若是直和，那么 $\mathrm{\Gamma }$ 定是单射的，则：

$$\begin{array}{rl}\text{dim}(U_1+\cdots +U_m)& =\text{dim}(U_1\times \cdots \times U_m)\\ & =\text{dim}{U}_1+\cdots +\text{dim}{U}_m\end{array}$$

故而可证直和到维度之和方向的推论，反方向的推论差不多也是将证明过程逆转。

向量与子空间之和

设 $v\in V$，$U$是$V$的子空间，则 $v+U$ 是 $V$ 的一个子集，且符合以下定义：

$$v+U=\{v+u:u\in U\}$$

仿射子集（affine subset）、平行（parallel）

设有向量空间 $V$ ，$U$ 是 $V$ 的子空间，对于任意向量 $v\in V$ 那么：

• $V$ 的仿射子集是 $V$ 的所有形如 $v+U$ 的子集；
• 对于某个确定的子空间 $U$ ，那么任意形如 $v+U$ 的仿射子集都平行于 $U$ ；

商空间

定义

设有向量空间 $V$ ，$U$ 是 $V$ 的子空间，那么商空间 $V/U$ 是指所有平行于 $U$ 的仿射子集所构成的集合，即：

$$V/U=\{v+U:v\in V\}$$

相关性质

平行于同一子空间的仿射子集要么相等，要么不相交。

设有向量空间 $V$ 和其任意子空间 $U$，对于任意两个向量 $v,w\in V$ 以下情况同时成立或失效：

• (a) $v-w\in U$
• (b) $v+U=w+U$
• (c) $(v+U)\cap (w+U)\ne \varnothing$

证明：

（1）先假设情况 (a) 成立，对于任意 $u\in U$ ，利用子空间的封闭性，可得：

$$\begin{array}{rl}& v+u=v+(w-w)+u=w+((v-w)+u)\in w+U\\ & w+u=w+(v-v)+u=v+((w-v)+u)\in v+U\end{array}$$

故而 $v+U\subset w+U$ 且 $w+U\subset v+U$，所以 $v+U=w+U$，故而证得情况 (a) 蕴涵 情况 (b)。

（2）现在假设情况 (c) 成立，于是存在向量 $u_1,u_2\in U$ 使得：

$$v+u_1=w+u_2$$

那么 $v-w=u_2-u_1$ ，再次利用子空间的封闭性可知 $v-w\in U$ ，故而证得情况 (c) 蕴涵 情况 (a)，有因为已证情况 (a) 蕴涵 情况 (b)，所以情况 (c) 蕴涵情况 (b)。

（3）如果情况 (b) 成立，那么情况 (c) 必然成立，又因为已证情况 (c) 蕴涵 情况 (a)，所以情况 (b) 也蕴涵情况 (a)，此时证毕。

商空间上的加法与标量乘法

设有向量空间 $V$ 和其子空间 $U$ ，则对于商空间 $V/U$ 、任意向量 $v,w\in V$ 和 $\lambda \in \mathbf{F}$ 有定义：

• $(v+U)+(w+U)=(v+w)+U$
• $\lambda (v+U)=(\lambda v)+U$

商映射

设有向量空间 $V$ 和其任意子空间 $U$，商映射 $\pi ：V\to V/U$ 是对于任意向量 $v\in V$ 符合以下定义的线性映射：

$$\pi (v)=v+U$$

此外，对于所有 $v\in U$ 的情况，$\pi (v)$ 始终等于 $U$ ，很容易得到 $\text{null}\pi =U$，且 $\text{range}pi=V/U$，由线性映射基本定理可得：

$$\begin{array}{rl}\text{dim}V& =\text{dim}V/U+\text{dim}\text{range}\pi \\ \text{dim}V& =\text{dim}V/U+\text{dim}U\\ & \Downarrow \\ \text{dim}V/U& =\text{dim}V-\text{dim}U\end{array}$$

$\tilde{T}$ 的定义

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，$\tilde{T}:V/(\text{null}T)\to W$ 的定义如下：

$$\tilde{T}(v+\text{null}T)=Tv$$

即，将平行于线性映射 $T$ 零空间的仿射子集根据与零空间的距离映射到 $T$ 的值域中。

此外还有以下性质：

• $\tilde{T}$ 是 $V/(\text{null}T)$ 到 $W$ 的线性映射；
• $\tilde{T}$ 是单射的；
• $\text{range}\tilde{T}=\text{range}T$;
• $V/(\text{null}T)$ 和 $\text{range}T$ 是同构的；