零空间、值域

零空间（null space）

定义：对于某个 $T \in L (V, W)$ ， $T$ 的零空间记为 $null T$ ，它是 $V$ 中被 $T$ 映射为0的向量集合：

null T = {v \in V : T v = 0}

对于任意 $u, v \in null T$ 和 $λ \in F$ ，根据零空间的定义，我们可以简单得到零空间中任意向量之和与标量乘法的结果：

T (u + v) = T (u) + T (v) = 0 \Rightarrow u + v \in null T

T (λ u) = λ T (u) = λ 0 = 0 \Rightarrow λ u \in null T

所以，零空间是子空间。

定义：对于某个 $T \in L (V, W)$ ， $T$ 的值域（range）记为 $range T$ ，它是在 $W$ 中由 $v$ 的向量经 $T$ 映射而来的向量集合：

range T = {T v : v \in V}

对于任意 $v_{1}, v_{2} \in range T$ 和 $λ \in F$ ，且设 $w_{1} = T v_{1}$ 和 $w_{2} = T v_{2}$ ，根据值域的定义，我们同样可以得到：

T (v_{1} + v_{2}) = T v_{1} + T v_{2} = w_{1} + w_{2} \Rightarrow w_{1} + w_{2} \in range T

T (λ v_{1}) = λ T v_{1} = λ w_{1} \Rightarrow λ w_{1} \in range T

所以，值域是子空间。

定义：如果某个 $T : V \to W$ , 对于任意 $v_{1}, v_{2} \in V$ ，当 $T v_{1} = T v_{2}$ 只在 $v_{1} = v_{2}$ 的情况下才成立时，则称 $T$ 是单射的。

结合零空间的概念，我们可以得到结论：

证明过程如下：

\begin{aligned} T (v) = 0 = T (0) \\ \Rightarrow v = 0 \\ \Rightarrow null T = {0} \end{aligned}

\begin{aligned} 0 = T v_{1} - T v_{2} = T (v_{1} - v_{2}) \\ \Rightarrow T (v_{1} - v_{2}) \in null T \\ \Rightarrow v_{1} - v_{2} \in {0} \\ \Rightarrow v_{1} - v_{2} = 0 \\ \Rightarrow v_{1} = v_{2} \end{aligned}

定义：如果某个 $T : V \to W$ 的值域完全等于 $W$ ，则称 $T$ 是满射的。即：线性映射 $T$ 的值域与其陪域（codomain）完全重合。

结合维数的概念，我们可以有这样的结论：