矩阵的秩

行秩与列秩

设 $A$ 的元素是一个 $m\times n$ 的矩阵，且 $A_{j,k}\in \mathbf{F}$，那么：

• $A$ 的行秩（row rank）是 $A$ 的诸行在 ${\mathbf{F}}^{1,n}$ 中的张成空间的维数，即线性无关的行数；
• $A$ 的列秩（column rank）是 $A$ 的诸列在 ${\mathbf{F}}^{m,1}$ 中的张成空间的维数，即线性无关的列数；

线性映射的值域维数等于其矩阵的列秩

设 $V$ 和 $W$ 都是有限维向量空间，对于任意 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，则：

$$\text{dim}\text{range}T=\text{dim}\mathcal{M}(T)$$

可以形象地理解：线性映射如果有线性相关的列，那么必然会发生维数的损失。

行秩必然等于列秩

若矩阵 $A\in {\mathbf{F}}^{m,n}$ ，定义 $T:{\mathbf{F}}^{n,1}\to {\mathbf{F}}^{n,1}$ 为 $Tx=Ax$ ，那么 $\mathcal{M}(T)=A$ ，那么：

$$\begin{array}{rl}\text{column rank}(A)& =\text{column rank}(\mathcal{M}(T))\\ & =\text{dim}\text{range}T\\ & =\text{dim}\text{range}{T}^{\prime }\\ & =\text{column rank}(\mathcal{M}(T^{\prime }))\\ & =\text{column rank}(A^t)\\ & =\text{row rank}(A)\end{array}$$

统一定义秩

因为行秩与列秩等价，所以我们直接约定，矩阵的秩（rank）为矩阵的列秩。