上三角矩阵

相关定义

这里我们主要讨论有限维向量空间上算子相关的矩阵，故而这些矩阵都是方形矩阵，其列数和行数相等，这里我们给出一些术语定义：

• 一个方形矩阵的对角线（diagonal）是由从左上角至右下角的直线上的元素组成;
• 若一个矩阵的对角线以下的元素全部为 $0$，则称该矩阵为上三角矩阵（upper triangular matrix）；

上三角矩阵的形式如下:

$$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \ast \\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

上三角矩阵的成立条件

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，且 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基，那么以下条件等价：

• $T$ 关于 $v_1,\dots ,v_n$ 的矩阵是一个上三角矩阵；
• 对于任意 $1\le j\le n$ ，都有 $T{v}_j\in \text{span}(v_1,\dots ,v_j)$ ；
• 对于任意 $1\le j\le n$ ，都有 $\text{span}(v_1,\dots ,v_j)$ 在 $T$ 下不变；

上三角矩阵的存在性

设 $V$ 是有限维复向量空间，对于任意 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，则 $T$ 关于 $V$ 上的某个基有上三角矩阵。

证明：

当 $\text{dim}V=1$ 时，结论自然成立。故而现在假设 $\text{dim}V>1$ ，且设维数比 $V$ 小的复向量空间结论都成立。

设 $\lambda$ 是 $T$ 的某个本征值，由之前的“有限维非零复向量空间的算子都有本征值”结论可知，$\lambda$ 一定存在。此外，设向量空间 $U$ 定义为：

$$U=\text{range}(T-\lambda I)$$

设 $\lambda$ 对应的本征向量 $v_e\in V$ ，那么 $(T-\lambda I)v_e=0$ ，因此 $(T-\lambda I)$ 必然不满足单射性，由算子的单射性、满射性、可逆性等价成立的结论可知，$(T-\lambda I)$ 不是满的，那么 $\text{dim}U<\text{dim}V$ 。

此外，对于任意 $u\in U$ 有：

$$Tu=(T-\lambda I)u+\lambda u$$

由 $U$ 的定义可知 $(T-\lambda I)u\in U$ ，所以 $Tu\in U$ ，故而 $U$ 在 $T$ 下不变。

所以 $T{\mid }_u$ 是 $U$ 上的算子，因为之前的假设，$U$ 存在基 $u_1,\dots ,u_m$ 使得 $T{\mid }_u$ 关于该基有上三角矩阵，故而对于任意 $1\le j\le m$ 有：

$$T{u}_j=(T{\mid }_u)(u_j)\in \text{span}(u_1,...,u_j)$$

在 $u_1,\dots ,u_m$ 扩充到 $V$ 的基 $u_1,\dots ,u_m,v_1,\dots ,v_n$ , 那么对于任意 $1\le k\le n$ 有：

$$T{v}_k=(T-\lambda I)v_k+\lambda v_k$$

有 $U$ 的定义可知 $(T-\lambda I)v_k\in U$ ，因此：

$$T{v}_k\in \text{span}(u_1,\dots ,u_m,v_1,\dots ,v_k)$$

由上三角矩阵成立的等价条件可知，$T$ 有关于基 $u_1,\dots ,u_m,v_1,\dots ,v_n$ 的上三角矩阵。

使用归纳法，将以上步骤递归，收敛到 $\text{dim}U=1$ 的情况即可证明结论。

上三角矩阵与可逆性

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵，那么该矩阵对角线上的元素全不为 $0$ 的情况与 $T$ 可逆的情况等价成立。

证明：

设 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基，且 $T$ 关于该基有上三角矩阵：

$$\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \ast \\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

首先，设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 均不为零。对于 $v_1$ ，我们可以得到：

$$\begin{array}{rl}T{v}_1& ={\lambda }_1{v}_1\\ & \Downarrow \\ T(v_1/{\lambda }_1)& =v_1\\ & \Downarrow \\ v_1& \in \text{range}T\end{array}$$

对于 $v_2$ ，则存在 $a\in \mathcal{F}$ 使得：

$$\begin{array}{rl}T(v_2/{\lambda }_2)& =a{v}_1+{\lambda }_2{v}_2\\ & \Downarrow \\ v_2& \in \text{range}T\end{array}$$

对于 $v_3$ , 则存在 $a,b\in \mathcal{F}$ 使得：

$$\begin{array}{rl}T(v_3/{\lambda }_3)& =a{v}_1+b{v}_2+{\lambda }_3{v}_3\\ & \Downarrow \\ v_3& \in \text{range}T\end{array}$$

依此类推，我们可以知道 $v_1,\dots ,v_n\in \text{range}T$ ，因为它们都是 $V$ 的基，故而它们必然线性无关，因此 $\text{span}(v_1,\dots ,v_n)=\text{range}T=V$ ，故而 $T$ 是满射的，因为算子的满射性和可逆性同时成立，所以当算子的矩阵对角线元素均不为 $0$ 时该算子可逆。

现在设 $T$ 是可逆的，那么 ${\lambda }_1\ne 0$ ，否则的话 $T{v}_1=0$ ，这就与 $T$ 可逆矛盾了。所以我们设 $1<j\le n$ 使得 ${\lambda }_j=0$ ，这说明 $T$ 将 $\text{span}(v_1,\dots ,v_j)$ 映射到 $\text{span}(v_1,\dots ,v_{j-1})$ ，明显前者的维数比后者大，那么 $T{\mid }_{\text{span}(v_1,\dots ,v_j)}$ 不是单射的，即存在一个 $v_x\in \text{span}(v_1,\dots ,v_j)\subset V$ 会使得 $T{v}_x=0$ ，即 $T$ 在 $V$ 上也不是单射的，因为算子的单射性和可逆性等价成立，此时就与我们的假设相悖了，故而当 $T$ 可逆时， ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 均不为 $0$。至此证毕。

上三角矩阵与本征值

若 $T\in \mathcal{L}(V)$ 关于 $V$ 上的某个基有上三角矩阵，那么该矩阵的每个对角线元素都是 $T$ 的本征值。

证明：

设 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基，并且 $T$ 关于该基有上三角矩阵：

$$\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \ast \\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

设 $\lambda \in \mathbf{F}$ ，则有：

$$\mathcal{M}(T-\lambda I)=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1-\lambda & & \ast \\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_n-\lambda \end{array}\right)$$

显然，当存在非零向量 $v_e\in V$ 能使得 $(T-\lambda I)v_e=0$ 情况下，$T$ 有本征值，这种情况的存在说明 $T$ 不满足单射性（零空间非零），因为算子的单射性和可逆性等价成立，根据上三角矩阵与可逆性的关系，$\mathcal{M}(T-\lambda I)$ 任意对角线元素为 $0$ 时即可，那么$\lambda$ 作为本征值的取值情况就是 $\lambda ={\lambda }_1\text{或}\dots \text{或}\lambda ={\lambda }_n$ ，证明完毕。