自伴算子与正规算子

伴随映射

定义

设 $T\in \mathcal{V}\mathcal{,}\mathcal{W}$ ，那么 $T$ 的伴随映射（adjoint）记作 $T^{\ast }$ ，它是满足如下条件的函数： $T^{\ast }:W\to V$ : 对任意 $v\in V$ 和 $w\in W$ 均有 $⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$ 。

相关性质

1. 伴随是线性映射。

证明：设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 及其伴随映射 $T^{\ast }\in \mathcal{L}(W,V)$ ，取 $w_1,w_2\in W$ 、$v\in V$ ，那么

$$\begin{array}{rl}⟨v,T^{\ast }(w_1+w_2)⟩& =⟨Tv,w_1+w_2⟩\\ & =⟨Tv,w_1⟩+⟨Tv,w_2⟩\\ & =⟨v,T^{\ast }{w}_1⟩+⟨v,T^{\ast }{w}_2⟩\\ & =⟨v,T^{\ast }{w}_1+T^{\ast }{w}_1⟩\\ & \Downarrow \\ T^{\ast }(w_1+w_2)& =T^{\ast }{w}_1+T^{\ast }{w}_1\end{array}$$

取 $\lambda \in \mathbf{F}$ 、$w\in W$，那么

$$\begin{array}{rl}⟨v,T^{\ast }(\lambda w)⟩& =⟨Tv,\lambda w⟩\\ & =\bar{\lambda }⟨Tv,w⟩\\ & =\bar{\lambda }⟨v,T^{\ast }w⟩\\ & =⟨v,\lambda T^{\ast }w⟩\\ & \Downarrow \\ T^{\ast }(\lambda w)& =\lambda T^{\ast }w\end{array}$$

至此已证明可加性与齐性，证毕。

2. 对所有 $S,T\in \mathcal{L}(V,W)$ 均有 $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$ 。

证明：设 $v\in V$ 、$w\in W$ ，则

$$\begin{array}{rl}⟨v,(S+T{)}^{\ast }w⟩& =⟨(S+T)v,w⟩\\ & =⟨Sv,w⟩+⟨Tv,w⟩\\ & =⟨v,S^{\ast }w⟩+⟨v,T^{\ast }w⟩\end{array}$$

3. 对任意 $\lambda \in \mathbf{F}$ 和 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 均有 $(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$ 。

证明：设 $v\in V$ 、$w\in W$ ，则

$$\begin{array}{rl}⟨v,(\lambda T{)}^{\ast }w⟩& =⟨\lambda Tv,w⟩\\ & =\lambda ⟨Tv,w⟩\\ & =\lambda ⟨v,T^{\ast }w⟩\\ & =⟨v,\bar{\lambda }{T}^{\ast }w⟩\end{array}$$

4. 对于任意 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 均有 $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$ 。

证明：设 $v\in V$ 、$w\in W$ ，则

$$\begin{array}{rl}⟨w,(T^{\ast }{)}^{\ast }v⟩& =⟨(T^{\ast })w,v⟩\\ & =\overline{⟨w,T^{\ast }v⟩}\\ & =\overline{⟨Tv,w⟩}\\ & =⟨w,Tv⟩\end{array}$$

5. 对于任意向量空间上的恒等算子 $I$ 均有 $I^{\ast }=I$ 。

易证，证明略。

6. 对于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 、$S\in \mathcal{L}(W,U)$ 有 $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$ 。

证明：取 $v\in V$ 、$w\in W$ 、$u\in U$ ，则

$$\begin{array}{rl}⟨v,(ST{)}^{\ast }u⟩& =⟨STv,u⟩\\ & =⟨Tv,S^{\ast }u⟩\\ & =⟨v,T^{\ast }{S}^{\ast }u⟩\end{array}$$

伴随映射的零空间和值域

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，则：

1. $\text{null}{T}^{\ast }=(\text{range}T{)}^{\perp }$
2. $\text{rangle}{T}^{\ast }=(\text{null}T{)}^{\perp }$
3. $\text{null}T=(\text{range}{T}^{\ast }{)}^{\perp }$
4. $\text{range}T=(\text{null}{T}^{\ast }{)}^{\perp }$

共轭转置矩阵

$m\times n$ 矩阵的共轭转置（conjugate transpose）矩阵就是将矩阵的转置矩阵的每个元素取复共轭得到的 $n\times m$ 矩阵。

例如矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2+3i& 4\\ -5+6i& 7& -8\end{array}\right)$$

的共轭转置矩阵便是

$$\left(\begin{array}{cc}1& -5-6i\\ 2-3i& 7\\ 4& -8\end{array}\right)$$

伴随映射的矩阵

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，且 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基，那么 $\mathcal{M}(T^{\ast },(f_1,\dots ,f_m),(e_1,\dots ,e_n))$ 是 $\mathcal{M}(T,(e_1,\dots ,e_n),(f_1,\dots ,f_m))$ 的共轭转置矩阵。

证明：因为$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基，故而对于任意 $1\le k\le n$ 都有

$$T{e}_k=⟨T{e}_k,f_1⟩f_1+\cdots +⟨T{e}_k,f_m⟩f_m$$

那么设 $1\le j\le m$ , $\mathcal{M}(T,(e_1,\dots ,e_n),(f_1,\dots ,f_m))$ 可以写成

$$\left(\begin{array}{ccccc}⟨T{e}_1,f_1⟩& \dots & ⟨T{e}_k,f_1⟩& \dots & ⟨T{e}_n,f_1⟩\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ ⟨T{e}_1,f_j⟩& \dots & ⟨T{e}_k,f_j⟩& \dots & ⟨T{e}_n,f_j⟩\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ ⟨T{e}_1,f_m⟩& \dots & ⟨T{e}_k,f_m⟩& \dots & ⟨T{e}_n,f_m⟩\end{array}\right)$$

反之，因为 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，所以

$$T^{\ast }{f}_j=⟨T^{\ast }{f}_j,e_1⟩e_1+\cdots +⟨T^{\ast }{f}_j,e_n⟩e_n$$

对于 $⟨T^{\ast }{f}_j,e_k⟩$ 做变换

$$⟨T^{\ast }{f}_j,e_k⟩=⟨f_j,(T^{\ast }{)}^{\ast }{e}_k⟩=⟨f_j,T{e}_k⟩=\overline{⟨T{e}_k,f_j⟩}$$

最终得到

$$T^{\ast }{f}_j=\overline{⟨T{e}_1,f_j⟩}{e}_1+\cdots +\overline{⟨T{e}_n,f_j⟩}{e}_n$$

所以 $\mathcal{M}(T^{\ast },(f_1,\dots ,f_m),(e_1,\dots ,e_n))$ 可以写成

$$\left(\begin{array}{ccccc}\overline{⟨T{e}_1,f_1⟩}& \dots & \overline{⟨T{e}_1,f_j⟩}& \dots & \overline{⟨T{e}_1,f_m⟩}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ \overline{⟨T{e}_k,f_1⟩}& \dots & \overline{⟨T{e}_k,f_j⟩}& \dots & \overline{⟨T{e}_k,f_m⟩}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ \overline{⟨T{e}_n,f_1⟩}& \dots & \overline{⟨T{e}_n,f_j⟩}& \dots & \overline{⟨T{e}_n,f_m⟩}\end{array}\right)$$

显然两个矩阵是共轭转置关系。

自伴算子

定义

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，如果 $T=T^{\ast }$ ，则称 $T$ 是自伴（self-adjoint）的。即 $T$ 对于任意 $v,w\in V$ 都有 $⟨Tv,w⟩=⟨v,Tw⟩$ 。

相关性质

1. 自伴算子的本征值都是实数。

证明：设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $T\ast =T$ ，取 $\lambda \in \mathbf{F}$ 、$v\in V$ 使得 $Tv=\lambda v$ ，那么

$$\lambda \Vert v{\Vert }^2=⟨\lambda v,v⟩=⟨Tv,v⟩=⟨v,T^{\ast }v⟩=⟨v,\lambda v⟩=\bar{\lambda }\Vert v{\Vert }^2$$

所以 $\lambda =\bar{\lambda }$ ，因此 $\lambda \in \mathbf{R}$ 。

2. 设 $V$ 是复内积空间，若 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且对于任意 $v\in V$ 都有 $⟨Tv,v⟩=0$ ，那么 $T$ 只能是 $0$ 算子，即$T=0$。

证明：根据算子极化恒等式可知，对于任意 $u,w\in V$ 都有

$$\begin{array}{rl}⟨Tu,w⟩& =\frac{⟨T(u+w),u+w⟩-⟨T(u-w),u-w⟩}{4}\\ & +\frac{i⟨T(u+iw),u+iw⟩-i⟨T(u-iw),u-iw⟩}{4}\end{array}$$

因为 $⟨Tv,v⟩=0$ ，故而上式中的 $⟨T(u+w),u+w⟩$ 、$⟨T(u-w),u-w⟩$ 、$⟨T(u+iw),u+iw⟩$ 、$⟨T(u-iw),u-iw⟩$ 都为 $0$ 。

所以对于任意 $u,w\in V$ 都有 $⟨Tu,w⟩=0$ , 所以 $T$ 只能为 $0$ 。

3. 设 $V$ 是复内积空间，$T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $v\in V$，那么 $T$ 是自伴的情况与 $⟨Tv,v⟩=\mathbf{R}$ 等价成立。

证明：我们构造以下等式

$$⟨Tv,v⟩-\overline{⟨Tv,v⟩}=⟨Tv,v⟩-⟨v,Tv⟩=⟨Tv,v⟩-⟨T^{\ast }v,v⟩=⟨(T-T^{\ast })v,v⟩$$

当 $T$ 是自伴的情况成立时

$$\begin{array}{rl}⟨(T-T^{\ast })v,v⟩=⟨(T-T)v,v⟩& =⟨0,v⟩=0\\ & \Downarrow \\ ⟨Tv,v⟩-\overline{⟨Tv,v⟩}& =0\\ & \Downarrow \\ ⟨Tv,v⟩& =\overline{⟨Tv,v⟩}\end{array}$$

显然 $⟨Tv,v⟩=0$ 的情况也随之成立。

反之，当 $⟨Tv,v⟩=0$ 成立时，显然 $⟨(T-T^{\ast })v,v⟩=0$ ，那么此时显然 $T=T^{\ast }$ ，即 $T$ 是自伴的情况随之成立。

4. 在内积空间 $V$ 中，若 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且对于任意 $v\in V$ 都有 $⟨Tv,v⟩=0$，那么 $T=0$ 。

在复内积空间中，性质2已经证明过。至于实内积空间，将算子极化恒等式退化到实内积空间的情况下即可证明。

正规算子

定义

设有内积空间 $V$ 以及算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，那么当 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 时，则称该算子 $T$ 是正规的（normal）。

相关性质

设有内积空间 $V$ 、$T\in \mathcal{L}(V)$ 以及任意 $v\in V$，那么以下性质均成立。

1. $T$ 是正规的情况与 $\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert$ 等价成立。

证明：若 $T$ 是正规的，那么 $⟨(T^{\ast }T-T{T}^{\ast })v,v⟩=0$ ，因此

$$\begin{array}{rl}⟨T^{\ast }Tv,v⟩& =⟨T{T}^{\ast },v⟩\\ & \Downarrow \\ \Vert Tv{\Vert }^2& =\Vert T^{\ast }v{\Vert }^2\\ & \Downarrow \\ \Vert Tv\Vert & =\Vert T^{\ast }v\Vert \end{array}$$

证明完毕，反之，当 $\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert$ 成立时，将上述过程倒转，即可证明 $T$ 时正规的。

2. 若 $T$ 是正规的，那么 $T$ 与 $T^{\ast }$ 有相同的本征向量。

证明：设 $v\in V$ 是 $T$ 相应于本征值 $\lambda \in \mathbf{F}$ 的本征向量，则

$$\begin{array}{r}(T-\lambda I)(T-\lambda I{)}^{\ast }=(T-\lambda I)(T^{\ast }-\bar{\lambda }I)=T{T}^{\ast }-\bar{\lambda }T-\lambda T^{\ast }+{\lambda }^2\\ (T-\lambda I{)}^{\ast }(T-\lambda I)=(T^{\ast }-\bar{\lambda }I)(T-\lambda I)=T^{\ast }T-\lambda T^{\ast }-\bar{\lambda }T+{\lambda }^2\end{array}$$

因为 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$ ，代入上边的两个等式可得 $(T-\lambda I)(T-\lambda I{)}^{\ast }=(T-\lambda I{)}^{\ast }(T-\lambda I)$ ，因此 $T-\lambda I$ 也是正规的。根据性质1可得

$$0=\Vert (T-\lambda I)v,v\Vert =\Vert (T-\lambda I{)}^{\ast }v,v\Vert =\Vert (T-\bar{\lambda }I{)}^{\ast }v,v\Vert$$

因此 $v$ 是相应于 $T^{\ast }$ 的本征值 $\bar{\lambda }$ 的本征向量。

3. 若 $T$ 是正规的，且相应于 $T$ 有多个不同的本征值，那么这些本征值所对应的本征向量之间互相正交。

证明： 设 $\alpha ,\beta \in \mathbf{F}$ 是 $T$ 不同的两个本征值，其分别对应的本征向量是 $u,v\in V$ 。那么

$$\begin{array}{rl}(\alpha -\beta )⟨u,v⟩& =⟨(\alpha -\beta )u,v⟩\\ & =⟨\alpha u,v⟩-⟨\beta u,v⟩\\ & =⟨Tu,v⟩-⟨Tu,v⟩\\ & =0\end{array}$$

因为 $\alpha \ne \beta$ ，所以 $\alpha -\beta \ne 0$ ，最后可知 $⟨u,v⟩=0$ ，即向量 $u$ 和 $v$ 正交。