正算子

定义

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，如果 $T$ 是自伴的且对于任意 $v\in V$ 都有 $⟨Tv,v⟩\ge 0$ ，那么则称 $T$ 是一个正算子（positive operator）。

注意，在 $V$ 是复向量空间时，只有在 $T$ 是自伴算子的情况下才有讨论是否为正算子的意义，因为复向量空间中只有自伴算子才能使得 $⟨Tv,v⟩\in \mathbf{R}$ ，从而有与 $0$ 比较的意义。

算子的平方根

设有算子 $R$ 和算子 $T$ ，如果 $R^2=T$ ，那么称 $R$ 是 $T$ 的平方根。

正算子的等价条件

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，则以下条件等价成立：

1. $T$ 是正算子；
2. $T$ 是自伴的且 $T$ 的所有本征值都不为负；
3. $T$ 有正的平方根；
4. $T$ 有自伴的平方根；
5. 存在算子 $R$ 使得 $T=R^{\ast }R$;

证明：首先假设条件1成立，那么根据正算子定义，显然 $T$ 是自伴的，设 $\lambda$ 是 $T$ 的本征值，$v$ 是相应的本征向量，那么有

$$0\le ⟨Tv,v⟩=⟨\lambda v,v⟩=\lambda ⟨v,v⟩$$

因为 $v\ne 0$ ，所以 $⟨v,v⟩=\Vert v{\Vert }^2>0$ ，那么此处的 $\lambda >0$ ，故而条件2成立。

假设条件2成立，因为所有的自伴算子一定是正规的，所以根据谱定理可知 $V$ 存在一个由 $T$ 的本征向量组成的规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$ ，设 $T$ 相应于这组本征向量的本征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 且都不为负，设算子 $R\in \mathcal{L}(V)$ 使得任意 $1\le j\le n$ 有

$$R{e}_j=\sqrt{{\lambda }_j}{e}_j$$

显然对于每个 $j$ 都有 $R^2{e}_j={\lambda }_j{e}_j=T{e}_j$ , 所以 $R^2=T$，即 $R$ 是 $T$ 的平方根。

设 $v\in V$ ，且 $v=a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n$ ，那么对于有

$$⟨Rv,v⟩=\sqrt{{\lambda }_1}{a_1}^2⟨e_1,e_1⟩+\cdots +\sqrt{{\lambda }_n}{a_n}^2⟨e_n,e_n⟩$$

上式右边的每一项显然都大于等于零，故而可知 $R$ 是正算子，所以条件3成立；且因为正算子都是自伴的，故而条件4也成立。

设条件4成立，显然 $R^{\ast }=R$ 、$T=R^2$ ，所以 $T=R^2=R\cdot R=R^{\ast }R$ ，条件5成立。

设条件5成立，那么

$$T^{\ast }=(R^{\ast }R{)}^{\ast }=R^{\ast }(R^{\ast }{)}^{\ast }=R^{\ast }R=T$$

所以 $T$ 是自伴的，又因为

$$⟨Tv,v⟩=⟨R^{\ast }Rv,v⟩=⟨Rv,(R^{\ast }{)}^{\ast }v⟩=⟨Rv,R,v⟩\ge 0$$

故而 $T$ 是正算子，条件1成立。

至此已经证明条件1至5循环蕴含，故而这5个条件等价成立。

正算子的正平方根唯一

对于任意正算子 $T$ ，有且只有一个平方根是正算子，这个唯一的正算子记作 $\sqrt{T}$ 。

证明： 设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正算子，$v\in V$ 是 $T$ 的一个本征向量，其对应的本征值为 $\lambda$ ，那么可知 $\lambda \ge 0$ 且 $Tv=\lambda v$ 。

再设算子 $R$ 是 $T$ 的一个正平方根。

因为正算子必然是自伴算子，故而根据谱定理可知 $R$ 有一组本征向量 $e_1,\dots ,e_n$ 可以作为 $V$ 的规范正交基，因为其本征值都是非负数，所以存在一组非负数 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 使得对于任意 $1\le j\le n$ 都有 $R{e}_j=\sqrt{{\lambda }_j}{e}_j$ 。

那么对于 $T$ 的本征向量 $v$ ，一定存在 $a_1,\dots ,a_n\in \mathbf{F}$ 使得

$$v=a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n$$

于是

$$\begin{array}{rl}Rv=a_1\sqrt{{\lambda }_1}{e}_1& +\cdots +a_n\sqrt{{\lambda }_n}{e}_n\\ & \Downarrow \\ R^{2}v=a_1{\lambda }_1{e}_1& +\cdots +a_n{\lambda }_1{e}_n\end{array}$$

因为 $R^2=T$ 且 $Tv=\lambda v$ ，所以 $R^{2}v=\lambda v$ ，可得

$$a_1{\lambda }_1{e}_1+\cdots +a_n{\lambda }_1{e}_n=a_1\lambda e_1+\cdots +a_n\lambda e_n$$

说明对于 $j=1,\dots ,n$ ，存在一部分 ${\lambda }_j=\lambda$ 的情况（当 $a_j$ 为 $0$ 时，可以存在 ${\lambda }_j\ne \lambda$ ，又因为 $v\ne 0$ ，所以一定有 $a_j\ne 0$），所以得到

$$v=\sum _{\{j:{\lambda }_j=\lambda \}}{a}_j{e}_j$$

那么

$$Rv=\sum _{\{j:{\lambda }_j=\lambda \}}{a}_j\sqrt{{\lambda }_j}{e}_j=\sqrt{\lambda }\cdot (\sum _{\{j:{\lambda }_j=\lambda \}}{a}_j{e}_j)=\sqrt{\lambda }v$$

此时我们得到 $Rv=\sqrt{\lambda }v$ 的结论，这意味这 $T$ 的每个本征向量都可以唯一确定 $R$ 的映射关系，又因为 $T$ 必然是自伴算子，故而 $T$ 的本征向量必然可以组成一个 $V$ 的规范正交基，那么 $R$ 在 $V$ 中的映射关系也就唯一确定了。

此处证明的核心思路可以形象地理解为：$R$ 在空间 $V$ 中各个“方向”上的“变化”都是确定的，那么 $R$ 整体的变化也就确定下来了）。