等距同构

定义

对于算子 $S\in \mathcal{L}(V)$ ，如果它对任意 $v\in V$ 都有 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ ，那么则称 $S$ 是等距同构（isometry）。

等距同构即保持向量范数不变的算子。

术语上，分别将实内积空间上的等距同构称之为正交算子；复内积空间上的等距同构称之为酉算子。

等距同构的等价条件

设 $S\in \mathcal{L}(V)$ ，则以下条件等价：

1. $S$ 是等距同构；
2. 对所有 $u,v\in V$ 均有 $⟨Su,Sv⟩=⟨u,v⟩$ ；
3. 对于 $V$ 中的任意规范正交向量组 $e_1,\dots e_n$ 均满足 $S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是规范正交的；
4. $S^{\ast }S=I$ ；
5. $S{S}^{\ast }=I$ ；
6. $S^{\ast }$ 是等距同构；
7. $S$ 是可逆的且 $S^{-1}=S^{\ast }$ ；

证明：

条件1成立时，根据极化恒等式，对任意 $u,v\in V$ 都有

$$\begin{array}{rl}⟨Su,Sv⟩& =\frac{\Vert Su+Sv{\Vert }^2-\Vert Su-Sv{\Vert }^2+i\Vert Su+iSv{\Vert }^2-i\Vert Su-iSv{\Vert }^2}{4}\\ & =\frac{\Vert S(u+v){\Vert }^2-\Vert S(u-v){\Vert }^2+i\Vert S(u+iv){\Vert }^2-i\Vert S(u-iv){\Vert }^2}{4}\\ & =\frac{\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2+i\Vert u+iv{\Vert }^2-i\Vert u-iv{\Vert }^2}{4}\\ & =⟨u,v⟩\end{array}$$

因此条件1蕴含条件2。

当条件2成立时，可知在 $V$ 中的某一规范正交向量组 $e_1,\dots ,e_n$ 中的任意两个向量 $e_j,e_k$ 都有

$$⟨S{e}_j,S{e}_k⟩=⟨e_j,e_k⟩=0$$

有因为 $S$ 保持向量的范数不变，故而 $S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 还是规范正交的。因此条件2蕴含条件3。

当条件3成立时，设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的一个规范正交基，那么对于其中任意两个向量 $e_j,e_k$ 都有

$$⟨S^{\ast }S{e}_j,e_k⟩=⟨S{e}_j,(S^{\ast }{)}^{\ast }{e}_k⟩=⟨S{e}_j,S{e}_k⟩=⟨e_j,e_k⟩$$

因为对于任意向量 $u,v\in V$ ，$u$ 和 $v$ 都可以表示为 $e_1,\dots ,e_n$ 的线性组合，那么 $⟨S^{\ast }Su,v⟩$ 可以用两个规范正交基的线性组合做内积来表示，最后展开会消去 $S$ （此处省略展开过程，太冗长了），最终可以得到 $⟨S^{\ast }Su,v⟩=⟨u,v⟩=⟨Iu,v⟩$ 。因此条件3蕴含条件4。

条件4显然蕴含条件5。

当条件5成立时，对于任意 $v\in V$ 有

$$\Vert S^{\ast }v{\Vert }^2=⟨S^{\ast }v,S^{\ast }v⟩=⟨(S^{\ast }{)}^{\ast }{S}^{\ast }v,v⟩=⟨S{S}^{\ast }v,v⟩=⟨v,v⟩=\Vert v{\Vert }^2$$

可得 $\Vert S^{\ast }v\Vert =\Vert v\Vert$ ，所以 $S^{\ast }$ 也是等距同构，条件5蕴含条件6。

当条件6成立时，因为伴随映射的存在性，结合条件4和条件5的蕴含关系，可以得出此时条件7成立。

当条件7成立时，对于任意 $v\in V$ 有

$$\Vert Sv{\Vert }^2=⟨Sv,Sv⟩=⟨S^{\ast }Sv,v⟩=⟨S^{-1}Sv,v⟩=⟨Iv,v⟩=⟨v,v⟩=\Vert v{\Vert }^2$$

所以 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ ，因此条件7蕴含条件1。

至此已经证明以上条件是依次蕴含的关系，从而已证以上条件成立的等价性。

复内积空间下的等价条件

设 $V$ 是复内积空间，且有 $S\in \mathcal{L}(V)$ ，则以下条件等价成立：

1. $S$ 是等距同构；
2. $V$ 有一个由 $S$ 的本征向量组成的规范正交基，并且这组本征向量对应的本征值绝对值均为1；

证明：

假设条件1成立，那么可知 $S^{\ast }S=I=S{S}^{\ast }$ ，故而 $S$ 是个正规算子，根据复谱定理可知，必然存在一组 $S$ 的本征向量构成的规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$ ，设对应的本征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ ，那么对于任意 $j\in \{1,\dots ,n\}$ 都有

$$|{\lambda }_j|={\lambda }_j\Vert e_j\Vert =\Vert {\lambda }_j{e}_j\Vert =\Vert S{e}_j\Vert =\Vert e_j\Vert =1$$

因此条件1蕴含条件2。

假设条件2成立，那么根据规范正交基的相关性质，对于任意 $v\in V$ 有

$$\begin{array}{rl}v& =⟨v,e_1⟩e_1+\cdots +⟨v,e_n⟩e_n\\ \Vert v{\Vert }^2& =|⟨v,e_1⟩{|}^2+\cdots +|⟨v,e_n⟩{|}^2\end{array}$$

将 $S$ 作用于第一个等式

$$\begin{array}{rl}Sv& =⟨v,e_1⟩S{e}_1+\cdots +⟨v,e_n⟩S{e}_n\\ & ={\lambda }_1⟨v,e_1⟩e_1+\cdots +{\lambda }_n⟨v,e_n⟩e_n\end{array}$$

因为 $|{\lambda }_j|=1$ ，代入上式并平方，可得

$$\Vert Sv{\Vert }^2=|⟨v,e_1⟩{|}^2+\cdots +|⟨v,e_n⟩{|}^2$$

所以 $\Vert Sv{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2$ ，可得 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ ，即 $S$ 是等距同构，条件2蕴含条件1。