极分解

设 $T \in L (V)$ ，存在一个等距同构 $S \in L (V)$ 使得 $T = S \sqrt{T^{*} T}$ 。

证明:

对于任意 $v \in V$ ，都有

\begin{aligned} ‖ T v ‖^{2} & = ⟨ T v, T v ⟩ \\ = ⟨ T^{*} T v, v ⟩ \\ = ⟨ \sqrt{T^{*} T} \sqrt{T^{*} T} v, v ⟩ \\ = ⟨ \sqrt{T^{*} T} v, \sqrt{T^{*} T} v ⟩ \\ = ‖ \sqrt{T^{*} T} v ‖^{2} \end{aligned}

因此我们可以得到 $‖ T v ‖ = ‖ c v ‖$ 。

定义线性映射 $S_{1} : range \sqrt{T^{*} T} \to range T$ 为 $S_{1} (\sqrt{T^{*} T} v) = T v$ 。

首先，我们要证明 $S_{1}$ 是合理定义的：设 $v_{1}, v_{2} \in V$ 且满足 $\sqrt{T^{*} T} v_{1} = \sqrt{T^{*} T} v_{2}$ ，那么

\begin{aligned} ‖ T v_{1} - T v_{2} ‖ & = ‖ T (v_{1} - v_{2}) ‖ \\ = ‖ \sqrt{T^{*} T} (v_{1} - v_{2}) ‖ \\ = ‖ \sqrt{T^{*} T} v_{1} - \sqrt{T^{*} T} v_{2} ‖ \\ = 0 \end{aligned}

因此 $T v_{1} = T v_{2}$ ，所以它是一个明确成立的映射关系，定义合理。

此外，因为 $‖ T v ‖ = ‖ c v ‖$ ，所以 $S_{1}$ 对于任意 $u \in range \sqrt{T^{*} T}$ 都有 $‖ S_{1} u ‖ = ‖ u ‖$ 。

证明 $S_{1}$ 的定义合理性时，揭示了其单射的特质，因此

dim range \sqrt{T^{*} T} = dim range T

所以 $dim (range \sqrt{T^{*} T})^{⊥} = dim (range T)^{⊥}$ ，所以可以取得 $(range \sqrt{T^{*} T})^{⊥}$ 的规范正交基 $e_{1}, \dots, e_{m}$ 与 $(range T)^{⊥}$ 的规范正交基 $f_{1}, \dots, f_{m}$ ，且这两组基的长度相同。

定义线性映射 $S_{2} : (range \sqrt{T^{*} T})^{⊥} \to (range T)^{⊥}$ 为 $S_{2} (a_{1} e_{1}, \dots, a_{m} e_{m}) = a_{1} f_{1}, \dots, a_{m} f_{m}$ 。

因为 $‖ a_{1} e_{1}, \dots, a_{m} e_{m} ‖ = | a_{1} |^{2} + \dots + | a_{m} |^{2}$ ，所以对于任意 $w \in (range \sqrt{T^{*} T})^{⊥}$ 均有 $‖ S_{2} w ‖ = ‖ w ‖$ 。

因为 $u, w$ 的定义互相正交，那么对于任意 $v \in V$ 都可以写成 $v = u + w$ 的形式，以此类推，我们可以定义线性映射 $S \in V$ 为 $S v = S_{1} u + S_{2} w$ 。

那么对于任意 $v \in V$ 则有 $S (\sqrt{T^{*} T} v) = S_{1} (\sqrt{T^{*} T} v) = T v$ ，因此可得 $T = S \sqrt{T^{*} T}$ 。

此外，将 $v = u + w $ 的形式代入到 $S$ 中可得 $‖ S v ‖^{2} = ‖ S_{1} u + S_{2} w ‖^{2}$ 。

因为 $S_{1} u \in range T$ 以及 $S_{2} w \in (range T)^{⊥}$ ，即它们互相正交，所以 $‖ S_{1} u + S_{2} w ‖^{2} = ‖ S_{1} u ‖^{2} + ‖ S_{2} w ‖^{2}$ 。

再由 $‖ S_{1} u ‖ = ‖ u ‖$ 且 $‖ S_{2} w ‖ = ‖ w ‖$ ，最终可得 $‖ S v ‖^{2} = ‖ u ‖^{2} + ‖ w ‖^{2} = ‖ v ‖^{2}$ ，所以 $S$ 是一个等距同构。

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