谱定理

复谱定理

设 $\mathbf{F}=\mathbf{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$，则以下条件等价成立：

1. $T$ 是正规的；
2. $V$ 有一个由 $T$ 的本征向量组成的规范正交基；
3. $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基具有对角矩阵；

证明：首先条件2和条件3显然等价成立，我们只需证明条件1和条件3等价成立即可。

当假定条件3成立时，则 $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基具有对角矩阵，因为 $T^{\ast }$ 的矩阵是 $T$ 的共轭转置矩阵，所以 $T^{\ast }$ 的矩阵还是一个对角矩阵，两个对角矩阵都是可交换的，所以 $T^{\ast }$ 和 $T$ 也是可以交换的，从而得知条件1成立。

当假定条件1成立时，由舒尔定理可知， $V$ 有一个规范正交基使得 $T$ 关于该基有上三角矩阵，还是因为 $T^{\ast }$ 的矩阵是 $T$ 的共轭转置矩阵，所以 $T^{\ast }$ 的矩阵是一个下三角矩阵，又因为 $T$ 是正规的，所以 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$ ，所以 $T^{\ast }$ 和 $T$ 的矩阵也要可以交换，故而它们的矩阵只能是个对角矩阵，因此条件3成立。

实谱定理

实谱定理的内容和复谱定理的内容相差无几，但证明方式不同，且需要一些前置定理。所以我们先介绍这些前置定理，将实谱定理及其证明放在最后

可逆的二次式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正规的 ，并且设 $b,c\in \mathbf{R}$ 且 $b^2<4c$ ，则

$$T^2+bT+cI$$

是可逆的。

证明：设 $v\in V$ 且 $v\ne 0$ ，则

$$\begin{array}{rl}⟨(T^2+bT+cI)v,v⟩& =⟨T^{2}v,v⟩+⟨bTv,v⟩+⟨cIv,v⟩\\ & =⟨T(Tv),v⟩+b⟨Tv,v⟩+c⟨v,v⟩\\ & =⟨Tv,T^{\ast }v⟩+b⟨Tv,v⟩+c⟨v,v⟩\\ & =⟨Tv,Tv⟩+b⟨Tv,v⟩+c⟨v,v⟩\\ & =\Vert Tv{\Vert }^2+b⟨Tv,v⟩+c\Vert v{\Vert }^2\end{array}$$

由柯西-施瓦茨不等式可知，$\Vert Tv\Vert \Vert v\Vert \ge |⟨Tv,v⟩|$ ，因此可以得到 $b⟨Tv,v⟩\le -|b|\Vert Tv\Vert \Vert v\Vert$ ，又因为

$$\Vert Tv{\Vert }^2-|b|\Vert Tv\Vert \Vert v\Vert +c\Vert v{\Vert }^2=(\Vert Tv\Vert -\frac{|b|\Vert v\Vert }{2}{)}^2+(c-\frac{b^2}{4})\Vert v{\Vert }^2>0$$

因此 $⟨(T^2+bT+cI)v,v⟩>0$ ，那么 $(T^2+bT+cI)v\ne 0$ ，故而 $T^2+bT+cI$ 是单射的，因为算子的单射性和可逆性等价，故而 $T^2+bT+cI$ 也是可逆的。

自伴算子都有本征值

设 $V\ne \{0\}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是自伴算子，那么 $T$ 必然有本征值。

证明：因为复向量空间上的算子必然有本征值，故而我们只需证明本定理在实内积空间成立即可，所以这里设 $V$ 是实内积空间。

设 $\text{dim}V=n$ ，取 $v\in V$ 且 $v\ne 0$ ，那么我们可以得到一个长度为 $n+1$ 的向量组

$$\{v,Tv,T^{2}v,\dots ,T^{n}v\}$$

因为该向量组长度超过了向量空间的维数，故而这组向量必然线性相关，所以可以取 $a_0,\dots ,a_n\in \mathbf{R}$ 使得

$$0=a_{0}v+a_{1}Tv+a_2{T}^{2}v+\cdots +a_n{T}^{n}v$$

对上述等式使用多项式因式分解可得

$$\begin{array}{rl}0& =a_{0}v+a_{1}Tv+a_2{T}^{2}v+\cdots +a_n{T}^{n}v\\ & =(a_{0}I+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n)v\\ & =c(T^2+b_{1}T+c_{1}I)\dots (T^2+b_{M}T+c_{M}T)(T-{\lambda }_1)\dots (T-{\lambda }_m)v\end{array}$$

上边等式中的 $c\in \mathbf{R}$ 且 $c\ne 0$ , $b_1,\dots ,b_m,c_1,\dots ,c_M,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_M\in \mathbf{R}$ ，且对于 $1\le j\le M$ 都有 $b_j^2\le 4c_j$ ，$m+M\ge 1$ 。因为 $T$ 是自伴的，所以$T$ 必然是正规的，那么对于每个 $T^2+b_{j}T+c_{j}T$ 项都是可逆的，所以对于这类项不会讲非零的 $v$ 映射到 $0$ ，因此这类项消去后等式依然成立

$$0=(T-{\lambda }_1)\dots (T-{\lambda }_m)v$$

因此对于 $1\le j\le m$ ，必然存在某个 $(T-{\lambda }_j)v=0$ ，所以 $T$ 必然有本征值。

自伴算子与不变子空间

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是自伴的，设 $U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下的不变子空间，则以下说法均成立

1. $U^{\perp }$ 在 $T$ 下不变；
2. $T{\mid }_U\in \mathcal{L}(U)$ 仍是自伴的；
3. $T{\mid }_{U^{\perp }}\in \mathcal{L}(U^{\perp })$ 仍是自伴的；

证明：设 $v\in U^{\perp }$ 、$u\in U$ ，因为 $T$ 是自伴的，那么

$$⟨Tv,u⟩=⟨v,T^{\ast }u⟩=⟨v,Tu⟩$$

又因为 $U$ 在 $T$ 下不变，所以 $Tu\in U$ ，故而 $⟨v,Tu⟩$ 还是等于 $0$ ，所以 $⟨Tv,u⟩=0$ ，那么 $Tv\in U^{\perp }$ ，因此证得说法1。

再设 $u,v\in U$ ，则

$$⟨(T{\mid }_U)u,v⟩=⟨Tu,v⟩=⟨u,T\ast v⟩=⟨u,Tu⟩=⟨u,(T{\mid }_U)v⟩$$

又因为 $⟨(T{\mid }_U)u,v⟩=⟨u,(T{\mid }_U{)}^{\ast }v⟩$ ，所以 $T{\mid }_U=(T{\mid }_U{)}^{\ast }$ , 因此说法2成立。结合说法1，用类似得方式也可得到说法3。

实谱定理

设 $\mathbf{F}=\mathbf{R}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$ ，则以下条件等价成立

1. $T$ 是自伴的；
2. $V$ 有一个由 $T$ 的本征向量组成的规范正交基；
3. $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基具有对角矩阵；

证明：当条件3成立时，因为 $T^{\ast }$ 的矩阵就是 $T$ 的共轭转置矩阵，因为是实内积空间中，矩阵中的元素也是实数，对角矩阵经过共轭转置后不变，故而 $T^{\ast }=T$ ，条件1成立。

当 $\text{dim}V=1$ 时，显然条件1成立必然使得条件2成立，因此我们可以假设 $\text{dim}V>1$ ，并且假设在更小维数的实内积空间中，条件1成立会使得条件2成立。

设条件1成立，那么 $T$ 必然有本征值，设 $u$ 是 $T$ 的一个本征向量且 $\Vert u\Vert =1$ ，设 $U=\text{span}(u)$ ，那么显然 $U$ 在 $T$ 下不变，故而 $T{\mid }_{U^{\perp }}\in \mathcal{L}(U^{\perp })$ 也是自伴的。因为之前的假设，$U^{\perp }$ 有一个由 $T{\mid }_{U^{\perp }}$ 的本征向量组成的规范正交基，那么将 $u$ 添加到这组规范正交基，即可得到 $V$ 的一个由 $T$ 的本征向量组成的规范正交基。向维度更小的空间归纳使用这段逻辑，直到维数为 $2$ ，即可证明在有限维下，条件1的成立会使得条件2成立。

显然，条件2会使得条件1成立，因此我们可知条件1、2、3会循环导致彼此成立，故而证得这三个条件等价成立。