奇异值

定义

设 $T \in L (V)$ ，那么 $T$ 的奇异值（singular value）就是由 $\sqrt{T^{*} T}$ 的本征值构成的数组，并且每个本征值 $λ$ 都要在这个数组中重复其本征空间的维数 $dim E (λ, \sqrt{T^{*} T})$ 次。

奇异值分解

设 $T \in L (V)$ 有奇异值 $s_{1}, \dots, s_{n}$ ，则 $V$ 有两个规范正交基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 和 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 使得对每个 $v \in V$ 都有 $T v = s_{1} ⟨ v, e_{1} ⟩ f_{1} + \dots + s_{n} ⟨ v, e_{n} ⟩ f_{n}$ 。

证明：因为 $\sqrt{T^{*} T}$ 是正算子，根据谱定理可知，有规范正交基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 使得对于 $1 \leq j \leq n$ 均有 $\sqrt{T^{*} T} e_{j} = s_{j} e_{j}$ 。并且对每个 $v \in V$ 均有

v = ⟨ v, e_{1} ⟩ e_{1} + \dots + ⟨ v, e_{n} ⟩ e_{n}

将 $\sqrt{T^{*} T}$ 作用于该等式两端可得

\sqrt{T^{*} T} v = s_{1} ⟨ v, e_{1} ⟩ e_{1} + \dots + s_{n} ⟨ v, e_{n} ⟩ e_{n}

对 $T$ 做极分解，可知有等距同构 $S \in L (V)$ 使得 $T = S \sqrt{T^{*} T}$ ，将 $S$ 作用于上边的等式，可得

S \sqrt{T^{*} T} v = s_{1} ⟨ v, e_{1} ⟩ S e_{1} + \dots + s_{n} ⟨ v, e_{n} ⟩ S e_{n}

设 $f_{j} = S e_{j}$ ，因为 $S$ 是等距同构，所以 $‖ f_{j} ‖ = ‖ S e_{j} ‖ = ‖ e_{j} ‖ = 1$ ，所以 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 也是一个规范正交基。那么上述等式就变成了

T v = s_{1} ⟨ v, e_{1} ⟩ f_{1} + \dots + s_{n} ⟨ v, e_{n} ⟩ f_{n}

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